page-break-inside を拡張する属性として CSS3 で追加定義されました。印刷時の改ページに加え、columns によるマルチカラムにおける改カラムを制御します。

例えば下記の例で、段落2 に対して break-inside: avoid-page を指定すると、右図のように 段落2 の途中での改ページが禁止されます。

例えば下記の例で、段落2 に対して break-inside: avoid-column を指定すると、右図のように 段落2 の途中での改カラムが禁止されます。

.multicol {
  column-count: 3;
}
.multicol p {
  break-inside: avoid-column;
}

<div class="multicol">
  <p>段落1：あああああああ・・・</p>
  <p>段落2：あああああああ・・・</p>
  <p>段落3：あああああああ・・・</p>
</div>

• http://www.w3.org/TR/css3-multicol/#break-inside
• https://www.w3.org/TR/css-break-3/#propdef-break-inside
• https://triple-underscore.github.io/css-break-ja.html#propdef-break-inside
• https://developer.mozilla.org/ja/docs/Web/CSS/break-inside
• http://caniuse.com/#search=break-inside